ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ - ນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່? ວິທີການຊອກຫາຄ່າຂອງການທໍາງານໄດ້ແນວໃດ?

ຄຽງຄູ່ກັບອະນຸພັນ ຫນ້າທີ່ຂອງຕົນ ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ - ມັນ ບາງສ່ວນຂອງແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ຂອງ calculus ຄ່າ, ສ່ວນຕົ້ນຕໍ ຂອງການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ. ເປັນການເຊື່ອມຕໍ່ inextricably, ທັງສອງຂອງພວກເຂົາຫຼາຍສັດຕະວັດແລ້ວຖືກນໍາໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນການແກ້ໄຂເກືອບບັນຫາທັງຫມົດທີ່ເກີດຂຶ້ນໃນໄລຍະຂອງກິດຈະກໍາວິທະຍາສາດແລະດ້ານວິຊາການໄດ້.

ການສຸກເສີນຂອງແນວຄວາມຄິດຂອງຄວາມແຕກຕ່າງໃນ

ສໍາລັບການໃຊ້ເວລາທໍາອິດເຮັດໃຫ້ມັນຈະແຈ້ງວ່າໃນຄ່າເປັນ, ຫນຶ່ງໃນຜູ້ກໍ່ຕັ້ງ (ຄຽງຄູ່ກັບ Isaakom Nyutonom) ຄ່າ calculus ທີ່ມີຊື່ສຽງນັກຄະນິດສາດເຍຍລະມັນ Gotfrid Vilgelm Leybnits. ກ່ອນຫນ້ານັ້ນ mathematicians ຕະວັດທີ 17. ໃຊ້ຄວາມຄິດບໍ່ຈະແຈ້ງທີ່ສຸດແລະ vague ຂອງບາງກະຈິ "ການແບ່ງແຍກ" ຂອງການທໍາງານໃດທີ່ຮູ້ຈັກ, ທີ່ເປັນຕົວແທນຄ່າຄົງທີ່ຂະຫນາດນ້ອຍຫຼາຍແຕ່ບໍ່ເທົ່າກັບສູນ, ຕ່ໍາກວ່າທີ່ໃຫ້ຄຸນຄ່າທໍາງານຂອງການບໍ່ສາມາດຈະພຽງແຕ່. ເພາະສະນັ້ນມັນແມ່ນພຽງແຕ່ຂັ້ນຕອນຫນຶ່ງທີ່ຈະແນະນໍາຂອງແນວຄິດທີ່ເລື່ອງຂອງ increments ກະຈິຂອງການໂຕ້ຖຽງຫນ້າທີ່ແລະ increments ຂອງເຂົາເຈົ້າຂອງການເຄື່ອນໄຫວທີ່ສາມາດໄດ້ຮັບການສະແດງຢູ່ໃນຂໍ້ກໍານົດຂອງອະນຸພັນຂອງກໍໄດ້. ແລະຂັ້ນຕອນນີ້ໄດ້ປະຕິບັດເກືອບພ້ອມໆກັນຢູ່ຂ້າງເທິງທັງສອງວິທະຍາສາດທີ່ຍິ່ງໃຫຍ່ໄດ້.

ໂດຍອີງໃສ່ຄວາມຕ້ອງການເພື່ອຮີບດ່ວນບັນຫາກົນໄກປະຕິບັດທີ່ປະເຊີນຫນ້າກັບວິທະຍາສາດຂຶ້ນຢ່າງໄວວາພັດທະນາອຸດສາຫະກໍາແລະເຕັກໂນໂລຊີນິວຕັນແລະ Leibniz ສ້າງວິທີການທົ່ວໄປຂອງການຊອກຫາການເຄື່ອນໄຫວຂອງອັດຕາການປ່ຽນແປງໄດ້, ເຊິ່ງໄດ້ເຮັດໃຫ້ການນໍາສະເຫນີແນວຄວາມຄິດດັ່ງກ່າວໄດ້ (ກ່ຽວກັບຄວາມໄວກົນໄກຂອງຮ່າງກາຍຂອງ trajectory ທີ່ຮູ້ຈັກໂດຍສະເພາະແມ່ນກັບ), ເປັນການທໍາງານຂອງອະນຸພັນແລະຄວາມແຕກຕ່າງ, ແລະຍັງພົບເຫັນການແກ້ໄຂບັນຫາຂັ້ນຕອນວິທີກັນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກຕໍ່ se (variable) ຄວາມໄວ traversed ເພື່ອຊອກຫາເສັ້ນທາງທີ່ນໍາໄປສູ່ແນວຄວາມຄິດຂອງປະໄດ້ Ala.

ໃນການເຮັດວຽກຂອງ Leibniz ແລະ Newton ຂອງຄວາມຄິດທໍາອິດປາກົດວ່າໃນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ - ເປັນສັດສ່ວນກັບ increment ຂອງການໂຕ້ຖຽງພື້ນຖານΔh increments ປະຕິບັດຫນ້າΔuທີ່ສາມາດນໍາໃຊ້ຢ່າງສໍາເລັດຜົນທີ່ຈະຄິດໄລ່ມູນຄ່າຂອງກໍໄດ້. ໃນຄໍາສັບຕ່າງໆອື່ນໆ, ພວກເຂົາເຈົ້າໄດ້ຄົ້ນພົບວ່າການທໍາງານຂອງຫົວຫນ່ວຍອາດຈະຢູ່ຈຸດໃດຫນຶ່ງ (ພາຍໃນໂດເມນຂອງຕົນຂອງຄໍານິຍາມ) ໄດ້ສະແດງອອກໂດຍຜ່ານການຂອງຕົນອະນຸພັນທັງΔu = y (x) Δh + αΔhທີ່αΔh - ສ່ວນທີ່ເຫຼືອ, ບົວລະບັດສູນເປັນΔh→ 0, ຫຼາຍຂຶ້ນໄວກວ່າທີ່ເກີດຂຶ້ນຈິງΔh.

ອີງຕາມການຜູ້ກໍ່ຕັ້ງຂອງການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດໄດ້, ທີ່ແຕກຕ່າງກັນໄດ້ - ນີ້ແມ່ນແທ້ໄດ້ໃນໄລຍະທໍາອິດໃນ increments ຂອງປະຕິບັດຫນ້າທີ່. ເຖິງແມ່ນວ່າໂດຍບໍ່ມີການມີກໍານົດຢ່າງຊັດເຈນລໍາດັບແນວຄວາມຄິດຈໍາກັດມີຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງສັງຫອນໃຈວ່າມູນຄ່າຄວາມແຕກຕ່າງຂອງອະນຸພັນມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະເຮັດວຽກໃນເວລາທີ່Δh→ 0 - Δu / Δh→ y (x).

ບໍ່ເຫມືອນກັບ Newton, ຜູ້ທີ່ນີ້ແມ່ນຕົ້ນຕໍເປັນນັກຟິສິກແລະອຸປະກອນທາງຄະນິດສາດພິຈາລະນາເປັນເຄື່ອງມືຊ່ວຍສໍາລັບການສຶກສາຂອງບັນຫາທາງດ້ານຮ່າງກາຍໄດ້, Leibniz ຈ່າຍເອົາໃຈໃສ່ເພີ່ມເຕີມຕໍ່ກັບປື້ມຄູ່ມືດັ່ງກ່າວນີ້, ລວມທັງລະບົບຂອງສັນຍາລັກສາຍຕາແລະເຂົ້າໃຈໄດ້ຄຸນຄ່າທາງຄະນິດສາດໄດ້. ມັນແມ່ນການວ່າຜູ້ທີ່ສະເຫນີສັນກອນມາດຕະຖານຂອງການທໍາງານຂອງ dy ແຕກ = y (x) dx, dx, ແລະອະນຸພັນຂອງການທໍາງານຂອງການຖົກຖຽງກັນ y ສາຍພົວພັນຂອງເຂົາເຈົ້າ "(x) = dy / dx.

ຄໍານິຍາມຂອງທີ່ທັນສະໄຫມ

ຄ່າໃນຂໍ້ກໍານົດຂອງຄະນິດສາດທີ່ທັນສະໄຫມເປັນແນວໃດ? ມັນແມ່ນກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງໃກ້ຊິດກັບແນວຄວາມຄິດຂອງການເພີ່ມຂຶ້ນຂອງຕົວປ່ຽນແປງໄດ້. ຖ້າຫາກວ່າຕົວແປ y ໃຊ້ເວລາຄ່າທໍາອິດຂອງ y y = _1, ຫຼັງຈາກນັ້ນ y = y _2, ຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ y ₂ ─ y ₁ ເອີ້ນວ່າ y ມູນຄ່າເພີ່ມ. ການເພີ່ມຂຶ້ນສາມາດໃນທາງບວກ. ລົບແລະສູນ. ຄໍາວ່າ "ເພີ່ມຂຶ້ນ" ແມ່ນກໍານົດΔ, Δuບັນທຶກ (ອ່ານ 'delta y') ຫມາຍເຖິງມູນຄ່າຂອງ y increment ໄດ້. ສະນັ້ນΔu = y ₂ ─ y _1.

ຖ້າຫາກວ່າມູນຄ່າΔuຫນ້າທີ່ຕົນເອງມັກ y = f (x) ຈະໄດ້ຮັບການເປັນຕົວແທນເປັນΔu = A Δh + α, ບ່ອນທີ່ແມ່ນການເອື່ອຍອີງຂອງΔh, t. E. A = const ສໍາລັບ x ດັ່ງກ່າວ, ແລະαໄລຍະເວລາທີ່Δh→ 0 ມັກຈະເຮັດໃຫ້ ມັນແມ່ນເຖິງແມ່ນໄວກ່ວາຕົວຈິງΔh, ຫຼັງຈາກນັ້ນທໍາອິດ ( "ຕົ້ນແບບ") ເປັນໄລຍະສັດສ່ວນΔh, ແລະສໍາລັບການ y = f (x) ຄ່າ, ສະແດງ dy ຫຼື df (x) (ອ່ານ "y de", "de eff ຈາກ X"). ດັ່ງນັ້ນ differentials - ເປັນ "ຕົ້ນຕໍ", ຮູບແຂບດ້ວຍຄວາມນັບຖືກັບອົງປະກອບຂອງ increments ປະຕິບັດຫນ້າΔhໄດ້.

ຄໍາອະທິບາຍກົນໄກ

ໃຫ້ s = f (t) - ໄລຍະຫ່າງໃນເສັ້ນຊື່ໄດ້ເຄື່ອນຍ້າຍ ຈຸດວັດສະດຸ ຈາກຕໍາແຫນ່ງໃນເບື້ອງຕົ້ນ (t - ທີ່ໃຊ້ເວລາການເດີນທາງ). ເພີ່ມΔs - ເປັນຈຸດວິທີການໃນໄລຍະໄລຍະຫ່າງທີ່ໃຊ້ເວລາΔtແລະ ds ແຕກຕ່າງ = f '(t) Δt - ເສັ້ນທາງດັ່ງກ່າວນີ້, ຊຶ່ງຈຸດຈະໄດ້ຮັບການຈັດຂຶ້ນໃນວັນສໍາລັບທີ່ໃຊ້ເວລາດຽວກັນΔt, ຖ້າຫາກວ່າມັນເກັບຮັກສາໄວ້ໄດ້ f ຄວາມໄວ (t), ບັນລຸໄດ້ໃນເວລາ t . ໃນເວລາທີ່ກະຈິΔt ds ເສັ້ນທາງຈິນຕະນາການມີຄວາມແຕກຕ່າງຈາກΔsຈິງກະຈິມີລໍາດັບສູງກວ່າດ້ວຍຄວາມເຄົາລົບΔt. ຖ້າຫາກວ່າຄວາມໄວໃນເວລາ t, ບໍ່ແມ່ນເທົ່າກັບສູນ, ໄດ້ ds ມູນຄ່າປະມານເຮັດໃຫ້ຈຸດອະຄະຕິຂະຫນາດນ້ອຍ.

ການຕີລາຄາ geometric

ໃຫ້ເສັ້ນ L ແມ່ນເສັ້ນສະແດງຂອງ y = f (x) ໄດ້. ຫຼັງຈາກນັ້ນΔ x = MQ, Δu = QM (ເບິ່ງ. ຮູບຂ້າງລຸ່ມນີ້). ສໍາຜັດ MN breaks Δuຕັດອອກເປັນສອງພາກສ່ວນ, QN ແລະ NM. ຫນ້າທໍາອິດແລະΔhເປັນສັດສ່ວນ QN = MQ ∙ tg (QMN ມຸມ) = Δh f (x), t. E QN ແມ່ນຄ່າ dy.

ສ່ວນທີສອງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງΔu NM'daet ─ dy, ໃນເວລາທີ່Δh→ 0 NM ຍາວ 'ຫຼຸດລົງເຖິງແມ່ນວ່າໄວກ່ວາຫົວຫນ່ວຍຂອງການໂຕ້ຖຽງໄດ້, ເຊັ່ນວ່າມັນມີຄໍາສັ່ງຂອງຂະຫນາດນ້ອຍສູງກ່ວາΔhໄດ້. ໃນກໍລະນີດັ່ງກ່າວນີ້, ຖ້າຫາກວ່າ f (x) ≠ 0 (ບໍ່ແມ່ນຂະຫນານສໍາຜັດ OX) ສ່ວນ QM'i QN ທຽບເທົ່າ; ໃນຄໍາສັບຕ່າງໆອື່ນໆ NM 'ຫຼຸດລົງຢ່າງໄວວາ (ຄໍາສັ່ງຂອງຂະຫນາດນ້ອຍຂອງຕົນສູງກວ່າ) increment ທັງຫມົດΔu = QM. ນີ້ແມ່ນເຫັນໄດ້ຊັດເຈນໃນຮູບ (approaching ກຸ່ມ M'k M NM'sostavlyaet ທັງຫມົດຂະຫນາດນ້ອຍກວ່າເປີເຊັນກຸ່ມ QM ').

ດັ່ງນັ້ນ, ຮູບພາບ differential ຫນ້າທີ່ຕົນເອງມັກແມ່ນເທົ່າທຽມກັນກັບການເພີ່ມຂຶ້ນຂອງບັນດາຂອງສໍາຜັດໄດ້.

ອະນຸພັນແລະຄ່າ

A ປັດໄຈໃນໄລຍະທໍາອິດຂອງການທໍາງານການສະແດງອອກການເພີ່ມຂຶ້ນເປັນເທົ່າທຽມກັນກັບມູນຄ່າຂອງ f ສິ່ງທີ່ແຕກກິ່ງ (x) ໄດ້. ດັ່ງນັ້ນ, ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ - dy = f '(x) Δhຫຼື df (x) = f' (x) Δh.

ມັນໄດ້ຖືກເອີ້ນວ່າການເພີ່ມຂຶ້ນຂອງການໂຕ້ຖຽງເອກະລາດແມ່ນເທົ່າທຽມກັນກັບຄ່າຂອງຕົນΔh = dx. ຕາມຄວາມເຫມາະສົມ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນ: f (x) dx = dy.

ຊອກ (ບາງຄັ້ງກ່າວເຖິງວ່າເປັນ "ການຕັດສິນໃຈ") differentials ແມ່ນປະຕິບັດຕາມກົດລະບຽບຄືກັນກັບສໍາລັບການອະນຸພັນໄດ້. ບັນຊີລາຍຊື່ຂອງເຂົາເຈົ້າໄດ້ຖືກມອບໃຫ້ຕ່ໍາກວ່າ.

ຈະເປັນແນວໃດແມ່ນຢູ່ທົ່ວໄປເພີ່ມເຕີມ: increment ຂອງການໂຕ້ຖຽງຫຼືຄ່າຂອງຕົນ

ໃນທີ່ນີ້ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນເພື່ອເຮັດໃຫ້ຄວາມກະຈ່າງແຈ້ງບາງ. ເປັນຕົວແທນຄ່າ f (x) ຄ່າΔhເປັນໄປໄດ້ໃນເວລາທີ່ພິຈາລະນາ x ເປັນການໂຕ້ຖຽງ. ແຕ່ການເຄື່ອນໄຫວສາມາດເປັນສະລັບສັບຊ້ອນ, ໃນທີ່ x ສາມາດທໍາງານຂອງການໂຕ້ຖຽງ t ໄດ້. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ເປັນຕົວແທນຂອງການສະແດງອອກຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ f (x) Δhໄດ້, ເປັນລະບຽບນັ້ນ, ມັນເປັນໄປບໍ່ໄດ້; ຍົກເວັ້ນໃນກໍລະນີຂອງການເອື່ອຍອີງ, ຮູບແຂບ x = at + b ໄດ້.

ໃນຖານະເປັນສູດ f (x) dx = dy, ຫຼັງຈາກນັ້ນໃນກໍລະນີຂອງການໂຕ້ຖຽງ x ອິສະລະ (ຫຼັງຈາກນັ້ນ dx = Δh) ໃນກໍລະນີຂອງການເອື່ອຍອີງ parametric ຂອງ x t ໄດ້, ມັນເປັນຄ່າ.

ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ການສະແດງອອກ 2 x Δhແມ່ນສໍາລັບ y = x ² ຄ່າຂອງຕົນໃນເວລາທີ່ x ເປັນການໂຕ້ຖຽງ. ໃນປັດຈຸບັນ x = t ² ແລະພວກເຮົາສົມມຸດ t ການໂຕ້ຖຽງ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ y = x ² = t ^4.

ນີ້ແມ່ນຕິດຕາມມາດ້ວຍ (t + t) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. ເພາະສະນັ້ນΔh = 2tΔt + Δt ^2. ເພາະສະນັ້ນ: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

ການສະແດງອອກນີ້ແມ່ນບໍ່ມີອັດຕາສ່ວນΔt, ແລະດັ່ງນັ້ນຈິ່ງເປັນປັດຈຸບັນ2xΔhບໍ່ differential. ມັນສາມາດພົບໄດ້ຈາກສະມະການ y = x ² = t ^4. ມັນເປັນເທົ່າທຽມກັນ dy = 4t ³ Δt.

ຖ້າຫາກວ່າພວກເຮົາໃຊ້ເວລາ 2xdx ການສະແດງອອກ, ມັນເປັນ y ແຕກຕ່າງ = x ² ສໍາລັບການໂຕ້ຖຽງ t ໃດ. ແທ້ຈິງແລ້ວ, ໃນເວລາທີ່ x = t ² ຮັບ dx = 2tΔt.

ດັ່ງນັ້ນ 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. ການທີ່ແຕກຕ່າງກັນສະແດງອອກບັນທຶກສອງຕົວແປທີ່ແຕກຕ່າງກັນ coincide.

ປ່ຽນ increments ແຕກ

ຖ້າ f (x) ≠ 0, ຫຼັງຈາກນັ້ນΔuແລະ dy ທຽບເທົ່າ (ໃນເວລາທີ່Δh→ 0); ຖ້າຫາກວ່າ f (x) = 0 (ຫມາຍແລະ dy = 0), ພວກເຂົາເຈົ້າແມ່ນບໍ່ໄດ້ທຽບເທົ່າ.

ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຖ້າຫາກວ່າ y = x ^2, ຫຼັງຈາກນັ້ນΔu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ແລະ dy = 2xΔh. ຖ້າ x = 3, ຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາມີΔu = 6Δh + Δh ² ແລະ dy = 6Δhທີ່ທຽບເທົ່າເນື່ອງຈາກΔh ² → 0, ໃນເວລາທີ່ x = 0 ຄ່າΔu = Δh ² ແລະ dy = 0 ແມ່ນບໍ່ທຽບເທົ່າ.

ຄວາມເປັນຈິງນີ້, ຮ່ວມກັນກັບໂຄງປະກອບການງ່າຍດາຍຂອງຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ (m. E. Linearity ດ້ວຍຄວາມເຄົາລົບΔh), ຖືກນໍາໃຊ້ໃນການຄິດໄລ່ປະມານ, ສົມມຸດຕິຖານທີ່Δu≈ dy ສໍາລັບΔhຂະຫນາດນ້ອຍ. ຊອກທໍາງານແຕກຕ່າງປົກກະຕິແລ້ວແມ່ນງ່າຍກ່ວາການຄິດໄລ່ມູນຄ່າທີ່ແນ່ນອນຂອງຫົວຫນ່ວຍໄດ້.

ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາມີ cube ໂລຫະທີ່ມີແຂບ x = 1000 cm. ໃນຄວາມອົບອຸ່ນແຂບໄດ້ນານກ່ຽວກັບΔh = 0001 cm. ວິທີເພີ່ມຂຶ້ນປະລິມານ cube V? ພວກເຮົາມີ V = x ^2, ດັ່ງນັ້ນ DV = 3x ² = Δh 3 ∙∙ກຸມພາ ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). ເພີ່ມຂຶ້ນΔVທຽບເທົ່າຄ່າ DV, ດັ່ງນັ້ນΔV = 3 cm ^3. ການຄິດໄລ່ເຕັມຈະໃຫ້ ³ ΔV = 10,01 ─ມີນາ ¹⁰ = 3.003001. ແຕ່ຜົນມາຈາກຕົວເລກທັງຫມົດຍົກເວັ້ນໄດ້ບໍ່ຫນ້າເຊື່ອຖືຄັ້ງທໍາອິດໄດ້; ເພາະສະນັ້ນ, ມັນແມ່ນຍັງມີຄວາມຈໍາເປັນເພື່ອໄດ້ຕະຫຼອດເຖິງ 3 ຊມ ^3.

ທ້າວ Xiao ເວົ້າວ່າ, ວິທີການນີ້ແມ່ນເປັນປະໂຫຍດພຽງແຕ່ຖ້າຫາກວ່າມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະປະເມີນມູນຄ່າທີ່ມອບໃຫ້ກັບຄວາມຜິດພາດ.

ການທໍາງານຂອງຄ່າ: ຕົວຢ່າງ

ໃຫ້ຂອງພະຍາຍາມເພື່ອຊອກຫາຄວາມແຕກຕ່າງຂອງການທໍາງານຂອງ y = x ^3, ຊອກຫາອະນຸພັນ. ໃຫ້ພວກເຮົາໃຫ້ການໂຕ້ຖຽງ increment Δuແລະກໍານົດ.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh3xΔh ² + ^3).

ທີ່ນີ້, ຕົວຄູນ A = 3x ² ບໍ່ໄດ້ຂຶ້ນກັບΔh, ດັ່ງນັ້ນໄລຍະທໍາອິດແມ່ນອັດຕາສ່ວນΔh, ສະມາຊິກອື່ນໆ3xΔhΔh ² + ³ ໃນເວລາທີ່Δh→ 0 ຫຼຸດລົງໄວກ່ວາຫົວຫນ່ວຍຂອງການໂຕ້ຖຽງໄດ້. ຜົນສະທ້ອນ, ສະມາຊິກຂອງ 3x ² Δhແມ່ນຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx ຫຼື d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Wherein d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາຊອກຫາຟັງຊັ່ນ y = 1 / x ໂດຍອະນຸພັນ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. ດັ່ງນັ້ນ dy = ─Δh / x ^2.

Differentials ຫນ້າພຶຊະຄະນິດພື້ນຖານແມ່ນໄດ້ຮັບຕ່ໍາກວ່າ.

ການຄິດໄລ່ປະມານການນໍາໃຊ້ຄ່າ

ການປະເມີນຜົນທີ່ຟັງຊັນ f (x), ແລະອະນຸພັນຂອງຕົນ f (x) at x = ມັກຈະມີຄວາມຫຍຸ້ງຍາກ, ແຕ່ການທີ່ຈະເຮັດແບບດຽວກັນໃນເຂດໄກ້ຄຽງຂອງ x = a, ບໍ່ແມ່ນການໄດ້ງ່າຍ. ຫຼັງຈາກນັ້ນມາການຊ່ວຍເຫຼືອຂອງການສະແດງອອກໂດຍປະມານໄດ້

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (ກ).

ນີ້ເຮັດໃຫ້ມູນຄ່າການທໍາງານຂອງທີ່ increments ຂະຫນາດນ້ອຍໂດຍຜ່ານຄ່າຂອງຕົນΔh f '(a) Δh.

ດັ່ງນັ້ນ, ສູດນີ້ເຮັດໃຫ້ການສະແດງອອກໂດຍປະມານສໍາລັບການທໍາງານຂອງຢູ່ຈຸດໃນຕອນທ້າຍຂອງບາງສ່ວນຂອງຄວາມຍາວΔhເປັນເປັນຜົນລວມຂອງມູນຄ່າຂອງຕົນທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນຂອງບາງສ່ວນ (x = a) ແລະຄ່າໃນຈຸດເລີ່ມຕົ້ນຄືກັນໄດ້ໄດ້. ຄວາມຖືກຕ້ອງຂອງວິທີການສໍາລັບການກໍານົດຄ່າຂອງການທໍາງານໄດ້ຕ່ໍາກວ່າສະແດງຮູບແຕ້ມຂອງ.

ຢ່າງໃດກໍຕາມທີ່ຮູ້ຈັກແລະການສະແດງອອກຄືກັນອ້ອຍຕ້ອຍສໍາລັບມູນຄ່າຂອງການທໍາງານ x = a + Δhທີ່ກໍາຫນົດໂດຍ increments finite ສູດ (ຫຼືຕາມການເລືອກ, ສູດ Lagrange ຂອງ)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (ກ),

ທີ່ຈຸດ x = a + ξແມ່ນຢູ່ໃນໄລຍະຫ່າງຈາກ x = ເພື່ອ x = a + Δh, ເຖິງແມ່ນວ່າຕໍາແຫນ່ງທີ່ແນ່ນອນຂອງຕົນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກ. ສູດທີ່ແນ່ນອນອະນຸຍາດໃຫ້ການປະເມີນຜົນຄວາມຜິດພາດຂອງສູດປະມານໄດ້. ຖ້າຫາກວ່າພວກເຮົາເອົາໃຈໃສ່ໃນ Lagrange ສູດξ = Δh / 2, ເຖິງແມ່ນວ່າມັນ ceases ຈະຖືກຕ້ອງ, ແຕ່ໃຫ້, ເປັນລະບຽບນັ້ນ, ເປັນວິທີການທີ່ດີກວ່າຫຼາຍກ່ວາການສະແດງອອກຕົ້ນສະບັບໃນຂໍ້ກໍານົດຂອງຄວາມແຕກຕ່າງໄດ້.

ຄວາມຜິດພາດສູດການປະເມີນຜົນໂດຍການນໍາໃຊ້ຄ່າ

ເຄື່ອງມືວັດ , ໃນຫຼັກການ, ບໍ່ຖືກຕ້ອງ, ແລະເຮັດໃຫ້ຂໍ້ມູນການວັດແທກທີ່ສອດຄ້ອງກັບຄວາມຜິດພາດໄດ້. ພວກເຂົາເຈົ້າເປັນສະໂດຍການຈໍາກັດ ຄວາມຜິດພາດຢ່າງແທ້ຈິງ, ຫຼືໃນໄລຍະສັ້ນ, ຄວາມຜິດພາດຈໍາກັດ - ບວກ, ຈະແຈ້ງເກີນຄວາມຜິດພາດໃນມູນຄ່າຢ່າງແທ້ຈິງ (ຫຼືຢູ່ໃນຫຼາຍທີ່ສຸດເທົ່າທີ່ຈະມັນ) ໄດ້. ຈໍາກັດ ຄວາມຜິດພາດພີ່ນ້ອງ ຖືກເອີ້ນວ່າສະຫລາດທີ່ໄດ້ຮັບໂດຍການແບ່ງປັນມັນດ້ວຍລາຄາທີ່ແທ້ຈິງຂອງມູນຄ່າມາດຕະການ.

ໃຫ້ຄືກັນອ້ອຍຕ້ອຍສູດ y = f (x) ການທໍາງານການນໍາໃຊ້ເພື່ອ vychislyaeniya y, ແຕ່ມູນຄ່າຂອງ x ແມ່ນຜົນການວັດແທກໄດ້, ແລະເພາະສະນັ້ນຈຶ່ງນໍາເອົາຄວາມຜິດພາດ y ໄດ້. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ເພື່ອຊອກຫາຈໍາກັດຄວາມຜິດພາດຢ່າງແທ້ຈິງ│Δu│funktsii y, ການນໍາໃຊ້ສູດການຄໍານວນ

│Δu│≈│dy│ = │ f (x) ││Δh│,

ທີ່│Δh│yavlyaetsyaການໂຕ້ຖຽງຄວາມຜິດພາດຕາມແຄມໃບ. ປະລິມານ│Δu│ຕ້ອງໄດ້ຮັບການມົນຂຶ້ນ, ເປັນ ການຄິດໄລ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງຕົວຂອງມັນເອງແມ່ນການທົດແທນຂອງຫົວຫນ່ວຍໃນການຄິດໄລ່ຄ່າດັ່ງກ່າວ.