ຊຸດ Maclaurin ແລະການທໍາລາຍຂອງຫນ້າທີ່ບາງຢ່າງ

ນັກຮຽນຄະນິດສາດທີ່ສູງຂຶ້ນຄວນຮູ້ວ່າຜົນລວມຂອງຊຸດພະລັງງານບາງຢ່າງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຊ່ວງເວລາຂອງການສະຫຼັບຂອງຊຸດທີ່ໄດ້ຮັບນັ້ນແມ່ນຫນ້າທີ່ທີ່ແຕກຕ່າງກັນຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງແລະຫຼາຍໆຄັ້ງ. ຄໍາຖາມທີ່ເກີດຂື້ນ: ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະຍືນຍັນວ່າຫນ້າທີ່ f (x) ເປັນຄວາມສົມບູນຂອງຊຸດໄຟຟ້າ? ນັ້ນແມ່ນ, ພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂໃດທີ່ f-f f (x) ສາມາດເປັນຕົວແທນໂດຍຊຸດພະລັງງານ? ຄວາມສໍາຄັນຂອງຄໍາຖາມດັ່ງກ່າວແມ່ນວ່າມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະປະມານແທນ f-x f (x) ໂດຍສົມຜົນຂອງຂໍ້ກໍານົດທໍາອິດຂອງຊຸດພະລັງງານ, ເຊິ່ງເປັນ polynomial. ການປ່ຽນແທນການເຮັດຫນ້າທີ່ໂດຍການສະແດງອອກແບບງ່າຍໆ - ໂພລີໂຟນີ - ແມ່ນສະດວກໃນການແກ້ໄຂບັນຫາບາງຢ່າງຂອງ ການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ ເຊັ່ນ: ໃນການແກ້ໄຂ integrals, ໃນການຄິດໄລ່ ສົມຜົນສົມຜົນ, ແລະອື່ນໆ.

ມັນໄດ້ຖືກພິສູດວ່າສໍາລັບຫນ້າທີ່ f (x) ບາງ, ເຊິ່ງມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະຄິດໄລ່ຕົວສະກົດຕົວເຖິງ (n + 1), ຄໍາສັ່ງ, ລວມທັງສຸດທ້າຍ, ໃນເຂດຂອງ (α -R X ₀ + R) ຂອງຈຸດບາງ x = α, ສູດຕໍ່ໄປນີ້ແມ່ນຖືກຕ້ອງ:

ສູດນີ້ມີຊື່ຂອງນັກວິທະຍາສາດ famous Brooke Taylor. ຊຸດທີ່ໄດ້ຮັບຈາກການທີ່ຜ່ານມາເອີ້ນວ່າຊຸດ Maclaurin:

ກົດລະບຽບທີ່ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະທໍາລາຍເປັນຊຸດ Maclaurin:

1. ກໍານົດຕົວອະນຸພັນຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ, ທີສອງ, ທີສາມ ... .
2. ຄິດໄລ່ສິ່ງທີ່ອະນຸພັນຢູ່ x = 0 ແມ່ນເທົ່າກັບ.
3. ບັນທຶກຊຸດ Maclaurin ສໍາລັບການເຮັດວຽກໃຫ້, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນກໍານົດໄລຍະຫ່າງຂອງການເຊື່ອມຕໍ່ຂອງຕົນ.
4. ກໍານົດໄລຍະຫ່າງ (-R R), ບ່ອນທີ່ສ່ວນທີ່ເຫລືອຂອງສູດ Maclaurin

R _n (x) -> 0 ເປັນ n →∞ຂອງ infinity. ໃນກໍລະນີທີ່ມັນມີຢູ່ແລ້ວ, ຫນ້າທີ່ f (x) ໃນມັນຕ້ອງສອດຄ່ອງກັບຜົນລວມຂອງຊຸດ Maclaurin.

ພວກເຮົາໃນປັດຈຸບັນພິຈາລະນາຊຸດ Maclaurin ສໍາລັບຫນ້າທີ່ສ່ວນບຸກຄົນ.

1. ດັ່ງນັ້ນ, ຄັ້ງທໍາອິດແມ່ນ f (x) = e ^x . ແນ່ນອນວ່າ, ໃນລັກສະນະຂອງມັນ, ຟັງຊັນດັ່ງກ່າວມີ derivatives ຂອງຄໍາສັ່ງທີ່ແຕກຕ່າງກັນຫຼາຍ, ແລະ f ^(k) (x) = e ^x , ບ່ອນທີ່ k ເທົ່າກັບ ຈໍານວນທໍາມະຊາດ ທັງຫມົດ . ພວກເຮົາແທນ x = 0. ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... ສືບຕໍ່ມາຈາກຂໍ້ຕໍ່ໄປ, ຊຸດ e ^x ຈະເບິ່ງຄືວ່ານີ້:

2. ຊຸດ Maclaurin ສໍາລັບຫນ້າທີ່ f (x) = sin x. (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^'' (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2), f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), where k equals any number natural ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍການຄິດໄລ່ງ່າຍໆ, ພວກເຮົາສາມາດເຂົ້າໃຈວ່າຊຸດສໍາລັບ f (x) = sin x ຈະເປັນແບບຟອມ:

3. ຕອນນີ້ພະຍາຍາມພິຈາລະນາຫນ້າທີ່ f (x) = cos x. ມັນມີຕົວອະນຸຍາດຂອງຄໍາສັ່ງທີ່ຂີ້ເຫຍື້ອສໍາລັບການຮູ້ຈັກທັງຫມົດ, ແລະ | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ອີກເທື່ອຫນຶ່ງ, ເຮັດໃຫ້ການຄິດໄລ່ທີ່ແນ່ນອນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບວ່າຊຸດສໍາລັບ f (x) = cos x ຈະຄ້າຍຄືນີ້:

ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາໄດ້ລະບຸໄວ້ວ່າຫນ້າທີ່ສໍາຄັນທີ່ສຸດທີ່ສາມາດຖືກແຍກອອກມາໃນຊຸດ Maclaurin, ແຕ່ພວກມັນແມ່ນປະກອບດ້ວຍຊຸດ Taylor ສໍາລັບບາງຫນ້າທີ່. ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາລາຍການໃຫ້ພວກເຂົາ. ມັນຍັງຄວນມີຄວາມຫມາຍວ່າຊຸດ Taylor ແລະ Maclaurin ແມ່ນສ່ວນຫນຶ່ງທີ່ສໍາຄັນຂອງກອງປະຊຸມວິຊາການແກ້ໄຂໃນຄະນິດສາດທີ່ສູງຂຶ້ນ. ດັ່ງນັ້ນ, ຊຸດ Taylor.

1. ທໍາອິດແມ່ນຊຸດສໍາລັບການເຮັດວຽກ f (x) = ln (1 + x). ໃນຕົວຢ່າງທີ່ຜ່ານມາ, ສໍາລັບ f (x) = ln (1 + x) ໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດເພີ່ມຊຸດໂດຍໃຊ້ຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງຊຸດ Maclaurin. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ສໍາລັບການເຮັດວຽກນີ້ Maclaurin ຊຸດສາມາດໄດ້ຮັບຫຼາຍ simpler. ການປະສົມປະສານຂອງຊຸດ geometric ບາງ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຊຸດສໍາລັບ f (x) = ln (1 + x) ຂອງຕົວຢ່າງເຊັ່ນ:

2. ແລະທີສອງ, ເຊິ່ງຈະເປັນສຸດທ້າຍໃນເຈ້ຍຂອງພວກເຮົາ, ຈະເປັນຊຸດສໍາລັບ f (x) = arctg x. ສໍາລັບ x ທີ່ເປັນຊ່ວງຂອງ [-1,1], ການຂະຫຍາຍຕົວແມ່ນຖືກຕ້ອງ:

ນັ້ນແມ່ນທັງຫມົດ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ການນໍາໃຊ້ຫຼາຍທີ່ສຸດຂອງ Taylor ແລະ Maclaurin ໃນຄະນິດສາດສູງ, ໂດຍສະເພາະ, ໃນມະຫາວິທະຍາໄລດ້ານເສດຖະກິດແລະວິຊາການ, ໄດ້ຖືກພິຈາລະນາ.