Linear ແລະສົມຜົນຄ່າເປັນເນື້ອດຽວກັນຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ. ຕົວຢ່າງຂອງວິທີແກ້ໄຂ

ຂ້າພະເຈົ້າຄິດວ່າພວກເຮົາຄວນຈະເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍປະຫວັດສາດຂອງເຄື່ອງມືທາງຄະນິດສາດອັນຮຸ່ງໂລດເປັນສະມະການໄດ້. ເຊັ່ນດຽວກັນກັບທຸກຄົນທີ່ແຕກຕ່າງແລະ calculus ການເຊື່ອມໂຍງ, ສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້ໄດ້ຖືກ invented ໂດຍ Newton ໃນທ້າຍສະຕະວັດທີ 17 ໄດ້. ເຂົາເຊື່ອວ່າມັນເປັນການຄົ້ນພົບຂອງເຂົາທີ່ສໍາຄັນດັ່ງນັ້ນເຖິງແມ່ນວ່າຂໍ້ຄວາມທີ່ເຂົ້າລະຫັດ, ເຊິ່ງໃນມື້ນີ້ສາມາດໄດ້ຮັບການແປເປັນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: ". ກົດຫມາຍທັງຫມົດຂອງລັກສະນະອະທິບາຍໂດຍສະມະການ" ມັນອາດຈະເບິ່ງຄືວ່າເປັນປານນັ້ນ, ແຕ່ມັນເປັນຄວາມຈິງ. ກົດຫມາຍຂອງຟີຊິກ, ເຄມີສາດ, ຊີວະສາດໃດກໍ່ຕາມ, ສາມາດໄດ້ຮັບການອະທິບາຍໂດຍສະມະການເຫຼົ່ານີ້.

ການປະກອບສ່ວນອັນໃຫຍ່ຫຼວງເພື່ອການພັດທະນາແລະການສ້າງທິດສະດີຂອງສະມະການທີ່ມີຄະນິດສາດຂອງ Euler ແລະ Lagrange. ແລ້ວໃນສະຕະວັດທີ 18 ໄດ້ພວກເຂົາເຈົ້າຄົ້ນພົບແລະພັດທະນາສິ່ງທີ່ປະຈຸບັນສຶກສາຢູ່ທີ່ຫລັກສູດວິທະຍາໄລອາວຸໂສ.

A Milestones ໃຫມ່ໃນການສຶກສາຂອງສະມະການໄດ້ເລີ່ມຕົ້ນກ່ອນຫມູ່ຍ້ອນການ Anri Puankare. ພຣະອົງໄດ້ສ້າງ "ທິດສະດີຄຸນນະພາບຂອງສະມະການ", ຊຶ່ງລວມມີທິດສະດີຂອງການເຄື່ອນໄຫວຂອງຕົວປ່ຽນສະລັບສັບຊ້ອນປະກອບສ່ວນຢ່າງຫຼວງຫຼາຍເພື່ອວາງຮາກຖານຂອງ topology ໄດ້ - ວິທະຍາສາດຂອງຊ່ອງແລະຄຸນສົມບັດຂອງຕົນ.

ຈະເປັນແນວໃດສະມະການ?

ຫຼາຍປະຊາຊົນມີຄວາມຢ້ານກົວຂອງປະໂຫຍກທີ່ວ່າ "ຄ່າສົມຜົນ". ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ໃນບົດຄວາມນີ້ພວກເຮົາຈະກໍານົດອອກໃນລາຍລະອຽດໂດຍເນື້ອແທ້ແລ້ວຂອງເຄື່ອງມືທາງຄະນິດສາດນີ້ເປັນປະໂຫຍດຫຼາຍທີ່ເປັນຕົວຈິງແລ້ວບໍ່ຫຍຸ້ງຍາກເທົ່າກັບວ່າມັນເບິ່ງຄືວ່າຈາກຫົວຂໍ້ດັ່ງກ່າວ. ໃນຄໍາສັ່ງເພື່ອເລີ່ມຕົ້ນການສົນທະນາກ່ຽວກັບສົມຜົນຄ່າທໍາອິດຂອງຄໍາສັ່ງ, ທ່ານຕ້ອງທໍາອິດໄດ້ຮັບສະນິດສະນົມທີ່ມີແນວຄິດພື້ນຖານທີ່ກ່ຽວຂ້ອງທີ່ປະກົດຂຶ້ນກັບຄໍານິຍາມນີ້. ແລະພວກເຮົາຈະເລີ່ມຕົ້ນກັບຄວາມແຕກຕ່າງໄດ້.

ຄ່າ

ຫລາຍຄົນຮູ້ວ່າໃນໄລຍະນີ້ນັບຕັ້ງແຕ່ໂຮງຮຽນສູງ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ຍັງສະຖິດຢູ່ໃນມັນໃນລາຍລະອຽດ. ຈິນຕະນາການເສັ້ນສະແດງການຂອງການທໍາງານໄດ້. ພວກເຮົາສາມາດເພີ່ມທະວີການໄປໃນຂອບເຂດທີ່ຂອງກຸ່ມຂອງຕົນຈະກາຍເປັນເສັ້ນຊື່ໄດ້. ມັນຈະໃຊ້ເວລາສອງຈຸດທີ່ມີ infinitely ໃກ້ກັບອື່ນໆແຕ່ລະຄົນ. ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງປະສານງານຂອງພວກເຂົາ (x ຫຼື y) ແມ່ນກະຈິ. ແລະມັນໄດ້ຖືກເອີ້ນວ່າແຕກຕ່າງແລະລັກສະນະກໍານົດ dy (ຄ່າຂອງ y) ແລະ dx (ຄ່າຂອງ x ທີ່). ມັນເປັນສິ່ງສໍາຄັນທີ່ຈະເຂົ້າໃຈວ່າຄວາມແຕກຕ່າງບໍ່ແມ່ນມູນຄ່າທີ່ດີທີ່ສຸດ, ແລະນີ້ແມ່ນຄວາມຫມາຍແລະຫນ້າທີ່ຕົ້ນຕໍ.

ແລະໃນປັດຈຸບັນທີ່ທ່ານຕ້ອງພິຈາລະນາອົງປະກອບດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້, ເຊິ່ງພວກເຮົາຈະຕ້ອງໄດ້ອະທິບາຍແນວຄວາມຄິດສົມຜົນແຕກຕ່າງ. ມັນ - ອະນຸພັນ.

ອະນຸພັນ

ທັງຫມົດຂອງພວກເຮົາຕ້ອງໄດ້ຍິນຢູ່ໃນໂຮງຮຽນແລະແນວຄິດນີ້. ເຂົາເຈົ້າເວົ້າວ່າອະນຸພັນ - ອັດຕາການຂະຫຍາຍຕົວຫຼືການຫຼຸດລົງຂອງການທໍາງານໄດ້. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ຄໍານິຍາມນີ້ກາຍເປັນສັບສົນຫຼາຍ. ຂໍໃຫ້ເຮົາພະຍາຍາມອະທິບາຍຂໍ້ກໍານົດອະນຸພັນຂອງທີ່ແຕກຕ່າງກັນໄດ້. ໃຫ້ຂອງກັບຄືນໄປບ່ອນທໍາງານຂອງໄລຍະຫ່າງຈິໄປມີສອງຈຸດ, ເຊິ່ງມີທີ່ຕັ້ງຢູ່ໃນໄລຍະຫ່າງຕ່ໍາສຸດຈາກກັນແລະກັນ. ແຕ່ເຖິງແມ່ນວ່ານອກເຫນືອຫນ້າທີ່ໄລຍະນີ້ແມ່ນເວລາທີ່ຈະມີການປ່ຽນແປງຈາກລາຄາຈໍານວນຫນຶ່ງ. ແລະເພື່ອອະທິບາຍການປ່ຽນແປງທີ່ແລະມາເຖິງມີອະນຸພັນທີ່ຈະບໍ່ດັ່ງນັ້ນຈະໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນເປັນອັດຕາສ່ວນຂອງທີ່ແຕກຕ່າງກັນໄດ້: f (x) '= df / dx.

ໃນປັດຈຸບັນມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນເພື່ອພິຈາລະນາຄຸນສົມບັດພື້ນຖານຂອງອະນຸພັນ. ມີພຽງແຕ່ສາມ:

1. ລວມຖອດຫຼືຄວາມແຕກຕ່າງສາມາດເປັນຕົວແທນເປັນລວມຫຼືຄວາມແຕກຕ່າງຂອງອະນຸພັນຂອງ: (a + b) '= a' + b, ແລະ (ab) '= a'-b.
2. ການຄຸນສົມບັດທີ່ສອງທີ່ພົວພັນກັບຫຼາຍ. ວຽກງານຖອດຖອນ - ແມ່ນລວມຍອດຂອງການເຮັດວຽກຂອງຫນຶ່ງທໍາງານຂອງການອະນຸພັນອື່ນໄດ້: (a * b) '= a' * b + a * b.
3. ອະນຸພັນຂອງຄວາມແຕກຕ່າງກັນສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນເປັນສົມຜົນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

ຄຸນນະສົມບັດທັງຫມົດເຫຼົ່ານີ້ມາໃນ handy ສໍາລັບການຊອກຫາວິທີແກ້ໄຂການ differential ໄດ້ສົມຜົນຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ.

ນອກຈາກນີ້, ມີອະນຸພັນບາງສ່ວນ. Suppose ພວກເຮົາມີການທໍາງານຂອງ z, ເຊິ່ງຂຶ້ນກັບການປ່ຽນແປງ x ແລະ y ໄດ້. ການຄິດໄລ່ອະນຸພັນບາງສ່ວນຂອງການທໍາງານດັ່ງກ່າວນີ້, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, ໃນ x, ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ໃຊ້ເວລາທີ່ທ່ານສຕົວປ່ຽນແປງສໍາລັບການຄົງທີ່ແລະງ່າຍທີ່ຈະແຕກຕ່າງກັນ.

ປະ

ອື່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສໍາຄັນ - ປະ. ໃນຄວາມເປັນຈິງມັນແມ່ນກົງກັນຂ້າມຂອງອະນຸພັນ. ການເຊື່ອມໂຍງດັ່ງມີຫຼາຍປະເພດ, ແຕ່ວິທີແກ້ໄຂງ່າຍທີ່ສຸດຂອງສະມະການ, ພວກເຮົາຕ້ອງການສິ່ງທີ່ເລັກນ້ອຍທີ່ສຸດ ການເຊື່ອມໂຍງບໍ່ມີກໍານົດ.

ດັ່ງນັ້ນ, ສິ່ງທີ່ເປັນປະ? ໃຫ້ຂອງເວົ້າວ່າພວກເຮົາມີຄວາມສໍາພັນບາງ f ຂອງ x. ພວກເຮົາໃຊ້ເວລາຈາກມັນໄດ້ຫນຶ່ງແລະໄດ້ຮັບ F function (x) (ມັນຖືກເອີ້ນມັກຈະເປັນ primitive), ເຊິ່ງເປັນອະນຸພັນຂອງການທໍາງານຕົ້ນສະບັບ. ດັ່ງນັ້ນ F (x) '= f (x). ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າຂອງອະນຸພັນແມ່ນເທົ່າທຽມກັນກັບການທໍາງານຂອງຕົ້ນສະບັບ.

ໃນການແກ້ໄຂສະມະການເປັນສິ່ງສໍາຄັນຫຼາຍທີ່ຈະເຂົ້າໃຈຄວາມຫມາຍແລະຫນ້າທີ່ຂອງປະ, ນັບຕັ້ງແຕ່ຫຼາຍມັກຈະມີການໃຊ້ເວລາໃຫ້ເຂົາເຈົ້າເພື່ອຊອກຫາວິທີແກ້ໄຂ.

ສະມະການແມ່ນແຕກຕ່າງກັນໂດຍອີງຕາມລັກສະນະຂອງເຂົາເຈົ້າ. ໃນພາກຕໍ່ໄປພວກເຮົາຈະເບິ່ງປະເພດຂອງສະມະການຄໍາສັ່ງຄ່າທໍາອິດ, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນໄດ້ຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂໃຫ້ເຂົາເຈົ້າ.

ຫ້ອງຮຽນຂອງສະມະການ

"Diffury" ແບ່ງອອກຕາມຄໍາສັ່ງຂອງອະນຸພັນມີສ່ວນຮ່ວມໃນໃຫ້ເຂົາເຈົ້າໄດ້. ດັ່ງນັ້ນຈຶ່ງມີການທໍາອິດ, ທີສອງ, ທີສາມຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນເພື່ອ. ພວກເຂົາເຈົ້າຍັງສາມາດໄດ້ຮັບການແບ່ງອອກເປັນຫ້ອງຮຽນຫຼາຍ: ທໍາມະດາແລະບາງສ່ວນ.

ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະພິຈາລະນາສະມະການປະຊຸມສະໄຫມຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ. ຕົວຢ່າງແລະວິທີແກ້ໄຂທີ່ພວກເຮົາປຶກສາຫາລືໃນພາກສ່ວນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້. ພວກເຮົາພິຈາລະນາພຽງແຕ່ TAC ເນື່ອງຈາກວ່າມັນແມ່ນປະເພດທົ່ວໄປທີ່ສຸດຂອງມະ. ແບ່ງປະຊຸມສະໄຫມເຂົ້າໄປໃນ subspecies: ມີການປ່ຽນແປງສາມາດແຍກຢ່າງ, ການຄຸ້ມຄອງແລະ heterogeneous. ຕໍ່ໄປທ່ານຈະໄດ້ຮຽນຮູ້ວິທີການທີ່ເຂົາເຈົ້າມີຄວາມແຕກຕ່າງຈາກອື່ນໆແຕ່ລະຄົນ, ແລະຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂໃຫ້ເຂົາເຈົ້າ.

ໃນນອກຈາກນັ້ນ, ສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້ສາມາດໄດ້ຮັບການອະນຸຍາດຂອງ, ດັ່ງນັ້ນຫຼັງຈາກທີ່ພວກເຮົາໄດ້ຮັບລະບົບສະມະການຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດໄດ້. ລະບົບດັ່ງກ່າວ, ພວກເຮົາຍັງຊອກຫາຢູ່ແລະຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂ.

ເປັນຫຍັງພວກເຮົາກໍາລັງພິຈາລະນາພຽງແຕ່ລໍາດັບທໍາອິດ? ເນື່ອງຈາກວ່າມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນເພື່ອເລີ່ມຕົ້ນການກັບແບບງ່າຍດາຍແລະອະທິບາຍທັງຫມົດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບສະມະການ, ໃນບົດຄວາມດຽວມັນເປັນເພງນຶ່ງໃນດວງ.

ສົມຜົນດ້ວຍຕົວປ່ຽນແປງແຍກ

ນີ້ແມ່ນບາງທີອາດມີຫຼາຍທີ່ສຸດງ່າຍດາຍສະມະຄໍາສັ່ງຄ່າທໍາອິດ. ເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງທີ່ສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນວ່າ: y '= f (x) * f (y). ເພື່ອແກ້ໄຂສະມະການນີ້ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງສູດເປັນຕົວແທນຂອງອະນຸພັນເປັນອັດຕາສ່ວນຂອງທີ່ແຕກຕ່າງກັນໄດ້: y '= dy / dx. ມີມັນພວກເຮົາໄດ້ຮັບສະມະການ: dy / dx = f (x) * f (y). ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາສາມາດເຮັດໃຫ້ວິທີການຂອງການແກ້ໄຂຕົວຢ່າງມາດຕະຖານ: ແຍກຕົວແປໃນພາກສ່ວນ, ເຊັ່ນໄວຕໍ່ທັງຫມົດ y ຕົວປ່ຽນແປງໃນສ່ວນຫນຶ່ງທີ່ມີ dy, ແລະຍັງເຮັດໃຫ້ໄດ້ x ຕົວປ່ຽນແປງ ... ພວກເຮົາໄດ້ຮັບສະມະການຂອງຮູບແບບ: dy / f (y) = f (x) dx, ເຊິ່ງຈະເຮັດໄດ້ໂດຍການເຊື່ອມໂຍງດັ່ງກ່າວຂອງທັງສອງພາກສ່ວນໄດ້. ຢ່າລືມກ່ຽວກັບຄົງທີ່ທີ່ທ່ານຕ້ອງການທີ່ຈະເຮັດໃຫ້ພາຍຫຼັງທີ່ການເຊື່ອມໂຍງ.

ການແກ້ໄຂຂອງໃດໆ "diffura" - ແມ່ນຫນ້າທີ່ເປັນຂອງ x ໂດຍ y (ໃນກໍລະນີຂອງພວກເຮົາ), ຫຼືຖ້າຫາກວ່າມີເງື່ອນໄຂຈໍານວນຫລາຍ, ຄໍາຕອບແມ່ນຕົວເລກ. ຂໍໃຫ້ພິຈາເປັນຕົວຢ່າງເປັນຮູປະທໍາແນ່ນອນທັງຫມົດຂອງການຕັດສິນໃຈໄດ້:

y '= 2 ຂະ * ບາບ (x)

ໂອນປ່ຽນແປງໃນທິດທາງທີ່ແຕກຕ່າງກັນ:

dy / y = 2 * ບາບ (x) dx

ໃນປັດຈຸບັນໃຊ້ເວລາການເຊື່ອມໂຍງການ. ທັງຫມົດຂອງເຂົາເຈົ້າສາມາດໄດ້ຮັບການພົບເຫັນຢູ່ໃນຕາຕະລາງການພິເສດຂອງການເຊື່ອມໂຍງ. ແລະພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

ຖ້າຫາກວ່າຕ້ອງການ, ພວກເຮົາສາມາດສະແດງຄວາມ "y" ເປັນຫນ້າທີ່ຂອງ "X" ໄດ້. ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາສາມາດເວົ້າວ່າສົມຜົນຄ່າຂອງພວກເຮົາແມ່ນການແກ້ໄຂ, ຖ້າຫາກວ່າບໍ່ລະບຸສະພາບ. ສາມາດໄດ້ຮັບການກໍານົດເງື່ອນໄຂ, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, y (n / 2) = e. ຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາພຽງແຕ່ຈະປ່ຽນແທນການມູນຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນແປງເຫຼົ່ານີ້ຢູ່ໃນການຕັດສິນໃຈດັ່ງກ່າວແລະພົບເຫັນມູນຄ່າຂອງຄ່າຄົງທີ່ໄດ້. ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ມັນແມ່ນ 1.

ສະມະການຄໍາສັ່ງທໍາອິດເປັນເນື້ອດຽວກັນ

ໃນປັດຈຸບັນກ່ຽວກັບການພາກສ່ວນສະລັບສັບຊ້ອນຫຼາຍ. ມະຄໍາສັ່ງຄ່າທໍາອິດເປັນເນື້ອດຽວກັນສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນໃນຮູບແບບທົ່ວໄປເປັນ: y '= z (x, y). ແຕ່ຄວນສັງເກດວ່າການທໍາງານຂອງສອງຕົວແປເປັນເອກະພາບ, ແລະມັນບໍ່ສາມາດແບ່ງອອກເປັນສອງອີງຕາມ: z x ແລະ z ຂອງ y. ໃຫ້ກວດເບິ່ງວ່າສົມຜົນແມ່ນການຄຸ້ມຄອງຫຼືບໍ່, ແມ່ນຂ້ອນຂ້າງງ່າຍດາຍ: ພວກເຮົາເຮັດໃຫ້ການທົດແທນ x = k * x ແລະ y = k * y. ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາຕັດທັງຫມົດ k. ຖ້າຫາກວ່າຕົວອັກສອນເຫຼົ່ານີ້ໄດ້ຖືກຫຼຸດລົງ, ຫຼັງຈາກນັ້ນສະມະການເປັນເນື້ອດຽວກັນແລະສາມາດໄດ້ຢ່າງປອດໄພດໍາເນີນການກັບການແກ້ໄຂຂອງຕົນ. ຊອກຫາລ່ວງຫນ້າ, ພວກເຮົາເວົ້າວ່າ: ຫຼັກການຂອງການແກ້ໄຂຂອງຕົວຢ່າງເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຍັງງ່າຍດາຍຫຼາຍ.

ພວກເຮົາຕ້ອງການເພື່ອເຮັດໃຫ້ການທົດແທນ: y = t (x) * x, ບ່ອນທີ່ t - ຟັງຊັນທີ່ຍັງຂຶ້ນກັບ x ເປັນ. ຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາສາມາດສະແດງອະນຸພັນ: y '= t (x) * x + t. ທົດແທນທັງຫມົດນີ້ເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນຕົ້ນສະບັບຂອງພວກເຮົາແລະຄວາມຊັບຊ້ອນຂອງມັນ, ພວກເຮົາມີຕົວຢ່າງຂອງການແຍກຕ່າງຫາກຂອງການປ່ຽນແປງ t ເປັນ x ໄດ້. ແກ້ໄຂມັນແລະໄດ້ຮັບການເອື່ອຍອີງຂອງ t (x) ໄດ້. ໃນເວລາທີ່ພວກເຮົາໄດ້ຮັບມັນ, ພຽງແຕ່ປ່ຽນແທນການທົດແທນທີ່ຜ່ານມາຂອງພວກເຮົາ y = t (x) * x. ຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາໄດ້ຮັບການເອື່ອຍອີງຂອງ y ກ່ຽວກັບ x ໄດ້.

ເພື່ອເຮັດໃຫ້ມັນຊັດເຈນ, ພວກເຮົາຈະເຂົ້າໃຈຕົວຢ່າງ: x * y '= YX * e y / x.

ໃນເວລາທີ່ກວດສອບທົດແທນຂອງທັງຫມົດຫຼຸດລົງໄດ້. ດັ່ງນັ້ນ, ສົມຜົນແມ່ນ homogeneous ແທ້. ໃນປັດຈຸບັນເຮັດໃຫ້ການທົດແທນຄົນອື່ນ, ພວກເຮົາເວົ້າລົມກ່ຽວກັບ: y = t (x) * x ແລະ y '= t (x) * x + t (x). ຫຼັງຈາກງ່າຍຂອງການສົມຜົນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: t '(x) * x =-e t. ^{ພວກເຮົາຕັດສິນໃຈເພື່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບຕົວຢ່າງທີ່ມີການປ່ຽນແປງແຍກແລະພວກເຮົາໄດ້ຮັບ: e-t = ln (C *} x). ພວກເຮົາພຽງແຕ່ຕ້ອງການທີ່ຈະທົດແທນການ t ໂດຍ y / x (ເນື່ອງຈາກວ່າຖ້າຫາກວ່າ y = t * x, ຫຼັງຈາກນັ້ນ t = y / x), ^{ແລະພວກເຮົາໄດ້ຮັບຄໍາຕອບ: e -y / x = ln (} x * C).

ສົມຜົນແຕກຕ່າງເຊີງເສັ້ນຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ

ມັນເປັນເວລາທີ່ຈະພິຈາລະນາຫົວຂໍ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງອີກ. ພວກເຮົາຈະເບິ່ງສະມະການທໍາອິດຄໍາສັ່ງທີ່ແຕກຕ່າງ. ເຮັດແນວໃດພວກເຂົາເຈົ້າມີຄວາມແຕກຕ່າງຈາກທີ່ຜ່ານມາທັງສອງແນວໃດ? ໃຫ້ຂອງປະສົບກັບມັນ. ມະຄໍາສັ່ງຄ່າທໍາອິດ Linear ໃນຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງສະມະການສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນດັ່ງນັ້ນຈຶ່ງ: y '+ g (x) * y = z (x). ມັນຄວນຈະໄດ້ຮັບການກະຈ່າງແຈ້ງວ່າ z (x) ແລະ g (x) ອາດຈະຄ່າຄົງທີ່.

ນີ້ເປັນຕົວຢ່າງ: y - y * x = x ^2.

ມີສອງວິທີການເພື່ອແກ້ໄຂມີຄວາມ, ແລະພວກເຮົາສັ່ງໃຫ້ພິຈາລະນາທັງສອງຂອງເຂົາເຈົ້າ. ຄັ້ງທໍາອິດ -. ວິທີການຂອງການປ່ຽນແປງຂອງຄ່າຄົງທີ່ຕົນເອງມັກໄດ້

ການແກ້ໄຂສົມຜົນໃນລັກສະນະນີ້, ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ຈະຖືເອົາດ້ານຂວາມືທໍາອິດທີ່ສູນ, ແລະແກ້ໄຂສົມຜົນທີ່ໄດ້ຮັບທີ່ຫຼັງຈາກການຍົກຍ້າຍຂອງພາກສ່ວນທີ່ຈະກາຍເປັນ:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

ໃນປັດຈຸບັນມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນເພື່ອທົດແທນການຄົງທີ່ C ₁ ກ່ຽວກັບການທໍາງານຂອງ v (x), ເຊິ່ງພວກເຮົາຈະພົບເຫັນ.

y = v * e ^{x2 / 2.}

ແຕ້ມຖອດທົດແທນ:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

ແລະທົດແທນສໍານວນເຫຼົ່ານີ້ເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນຕົ້ນສະບັບ:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

ທ່ານສາມາດເບິ່ງເຫັນວ່າໃນດ້ານຊ້າຍຂອງສອງຄໍາຈະຫຼຸດລົງ. ຖ້າຍົກຕົວຢ່າງບາງຢ່າງທີ່ບໍ່ໄດ້ເກີດຂຶ້ນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານໄດ້ເຮັດບາງສິ່ງບາງຢ່າງຜິດພາດ. ພວກເຮົາສືບຕໍ່:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາພ້ອມກັນແກ້ໄຂສະມະການປົກກະຕິໃນທີ່ທ່ານຕ້ອງການທີ່ຈະແຍກຕົວແປທີ່:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

ເພື່ອລົບຫນຶ່ງ, ພວກເຮົາຕ້ອງຮ້ອງຂໍເອົາການເຊື່ອມໂຍງໂດຍພາກສ່ວນທີ່ນີ້. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ນີ້ບໍ່ແມ່ນຫົວຂໍ້ຂອງບົດນີ້. ຖ້າຫາກວ່າທ່ານກໍາລັງມີຄວາມສົນໃຈ, ທ່ານສາມາດຮຽນຮູ້ດ້ວຍຕົນເອງເພື່ອປະຕິບັດການປະຕິບັດດັ່ງກ່າວ. ມັນບໍ່ແມ່ນມີຄວາມຫຍຸ້ງຍາກ, ແລະມີສີມືແຮງງານແລະການດູແລພຽງພໍບໍ່ແມ່ນບໍລິສຸດທີ່ໃຊ້ເວລາ.

ໂດຍອ້າງອີງໃສ່ວິທີການທີສອງການແກ້ໄຂຂອງສົມຜົນ inhomogeneous ການ: ວິທີການ Bernoulli. ຈະເປັນແນວໃດວິທີການໄດ້ໄວຂຶ້ນແລະງ່າຍຂຶ້ນ - ມັນຂຶ້ນກັບທ່ານ.

ດັ່ງນັ້ນ, ໃນເວລາທີ່ແກ້ໄຂວິທີການດັ່ງກ່າວນີ້, ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ເຮັດໃຫ້ການທົດແທນ: y = k * n. ທີ່ນີ້, k ແລະ n - ປະຕິບັດຫນ້າບາງໂດຍອີງຕາມ x. ຫຼັງຈາກນັ້ນມາຈະຄື: y '= k' * n + k * n '. ແທນສອງທົດແທນໃນສະມະການ:

k '* k n + * n ' + x * k * n = x ^2.

Group ເຖິງ:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

ໃນປັດຈຸບັນມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ຈະທຽບເທົ່າກັບການສູນ, ຊຶ່ງຢູ່ໃນເຄື່ອງຫມາຍວົງເລັບ. ໃນປັດຈຸບັນ, ຖ້າຫາກວ່າທ່ານສົມທົບການທັງສອງສົມຜົນສົ່ງຜົນໃຫ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບການລະບົບຂອງສະມະການຄໍາສັ່ງທໍາອິດທີ່ໄດ້ຮັບການແກ້ໄຂ:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

ຄວາມສະເຫມີພາບຄັ້ງທໍາອິດຕັດສິນໃຈເຮັດແນວໃດໃນສົມຜົນປົກກະຕິ. ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງແຍກຕົວແປທີ່:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

ພວກເຮົາໃຊ້ເວລາທີ່ຫນຶ່ງແລະພວກເຮົາໄດ້ຮັບ: ln (n) = x ^2/2. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ຖ້າຫາກວ່າພວກເຮົາສະແດງ n:

n = e ^{x2 / 2.}

ໃນປັດຈຸບັນໃຊ້ແທນສົມຜົນສົ່ງຜົນໃຫ້ເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນທີສອງ:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

ແລະປ່ຽນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບສົມຜົນເຊັ່ນດຽວກັນກັບໃນວິທີການທໍາອິດ:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

ພວກເຮົາຍັງຈະບໍ່ປຶກສາຫາລືການປະຕິບັດໃນຕໍ່ຫນ້າ. ມັນແມ່ນໄດ້ເວົ້າວ່າຢູ່ໃນສະມະການທໍາອິດຄໍາສັ່ງທໍາອິດແກ້ໄຂເຮັດໃຫ້ຄວາມຫຍຸ້ງຍາກຫຼາຍ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ເປັນການເອົາໃຈໃສ່ deeper ໃນຫົວຂໍ້ນີ້ແມ່ນເລີ່ມຕົ້ນເພື່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບທີ່ດີກວ່າແລະດີກວ່າ.

ບ່ອນໃດທີ່ມີສະມະການ?

ສະມະການການເຄື່ອນໄຫວຫຼາຍຄ່າໃຊ້ໃນຟີຊິກ, ເກືອບທັງຫມົດກົດຫມາຍພື້ນຖານແມ່ນລາຍລັກອັກສອນໃນຮູບແບບແຕກຕ່າງແລະສູດເຫຼົ່ານັ້ນ, ທີ່ພວກເຮົາເບິ່ງ - ແກ້ໄຂເພື່ອສະມະການເຫຼົ່ານີ້ໄດ້. ໃນເຄມີສາດ, ພວກເຂົາເຈົ້າໄດ້ຖືກນໍາໃຊ້ສໍາລັບເຫດຜົນດຽວກັນ: ກົດຫມາຍພື້ນຖານທີ່ຖືກຜັນຂະຫຍາຍໂດຍຜ່ານການໃຫ້ເຂົາເຈົ້າ. ໃນຊີວະສາດ, ສະມະການໄດ້ຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈໍາລອງການເຮັດວຽກຂອງລະບົບ, ເຊັ່ນ: ຜູ້ລ້າ - ຜູ້ຖືກລ້າ. ພວກເຂົາເຈົ້າຍັງສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອສ້າງຮູບແບບຂອງການສືບພັນ, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, ອານານິຄົມຂອງຈຸລິນຊີ.

ໃນຖານະເປັນສະມະການຄວາມຊ່ວຍເຫຼືອໃນຊີວິດ?

ຄໍາຕອບຂອງຄໍາຖາມນີ້ແມ່ນງ່າຍດາຍ: ບໍ່ມີຫຍັງ. ຖ້າຫາກວ່າທ່ານບໍ່ວິທະຍາສາດຫຼືວິສະວະກອນ, ມັນຄົງຈະຍາກທີ່ພວກເຂົາເຈົ້າຈະເປັນປະໂຫຍດ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ບໍ່ຢາກຮູ້ຈະຮູ້ວ່າສົມຜົນແຕກຕ່າງແລະມັນແມ່ນການແກ້ໄຂສໍາລັບການພັດທະນາໂດຍລວມ. ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນຄໍາຖາມຂອງລູກຊາຍຫຼືລູກສາວຂອງ, ໄດ້ "ສິ່ງທີ່ເປັນສົມຜົນຄ່າ?" ບໍ່ເຮັດໃຫ້ທ່ານໃນຕອນທ້າຍຕາຍ. ດີ, ຖ້າຫາກວ່າທ່ານມີຄວາມເປັນວິທະຍາສາດຫຼືວິສະວະກອນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານຮູ້ຈັກຄວາມສໍາຄັນຂອງກະທູ້ນີ້ໃນວິທະຍາສາດໃດຫນຶ່ງ. ແຕ່ສໍາຄັນທີ່ສຸດ, ໃນປັດຈຸບັນຄໍາຖາມວ່າ "ວິທີການແກ້ໄຂສະມະການຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ?" ທ່ານສະເຫມີໄປຈະສາມາດໃຫ້ຄໍາຕອບ. ຕົກລົງເຫັນດີ, ມັນເປັນສະເຫມີໄປທີ່ດີໃນເວລາທີ່ທ່ານຮັບຮູ້ວ່າສິ່ງທີ່ປະຊາຊົນເຖິງແມ່ນວ່າຢ້ານກົວເພື່ອຊອກຫາ.

ບັນຫາຕົ້ນຕໍໃນການສຶກສາ

ບັນຫາຕົ້ນຕໍໃນຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງກະທູ້ນີ້ແມ່ນເປັນປະເພດພືດທີ່ບໍ່ດີຂອງການເຊື່ອມໂຍງແລະການແຕກຕ່າງກັນປະຕິບັດຫນ້າ. ຖ້າຫາກວ່າທ່ານມີຄວາມສະດວກສົມມຸດອະນຸພັນແລະເຊື່ອມໂຍງດັ່ງກ່າວ, ມັນອາດຈະເປັນຕົກເປັນມູນຄ່າຫຼາຍທີ່ຈະຮຽນຮູ້, ທີ່ຈະຮຽນຮູ້ວິທີການທີ່ແຕກຕ່າງກັນຂອງການເຊື່ອມໂຍງແລະການແຕກຕ່າງກັນ, ແລະພຽງແຕ່ຫຼັງຈາກນັ້ນດໍາເນີນການເພື່ອການສຶກສາຂອງອຸປະກອນການທີ່ໄດ້ຮັບການອະທິບາຍໃນບົດຄວາມ.

ບາງຄົນປະຫລາດໃຈທີ່ຈະຮຽນຮູ້ dx ທີ່ສາມາດໄດ້ຮັບການໂອນ, ດັ່ງທີ່ຜ່ານມາ (ໃນໂຮງຮຽນ) argued ວ່າສ່ວນ dy / dx ທີ່ຕັດແຍກອອກ. ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ອ່ານວັນນະຄະດີໃນອະນຸພັນແລະເຂົ້າໃຈວ່າມັນເປັນທັດສະນະຂອງປະລິມານຂະຫນາດນ້ອຍ infinitely, ເຊິ່ງສາມາດຈັດການໃນການແກ້ສະມະການ.

ປະຊາຊົນຈໍານວນຫຼາຍບໍ່ທັນທີຮັບຮູ້ວ່າການແກ້ໄຂຂອງສະມະການຂອງຄໍາສັ່ງທໍາອິດ - ນີ້ມັກຈະເປັນການທໍາງານຫຼື neberuschiysya ຫນຶ່ງ, ແລະຄວາມຫຼົງນີ້ໃຫ້ເຂົາເຈົ້າຢ່າງຫຼາຍຂອງການເປັນບັນຫາ.

ແນວໃດອີກແດ່ທີ່ສາມາດສຶກສາທີ່ຈະເຂົ້າໃຈ?

ມັນເປັນທີ່ດີທີ່ສຸດເພື່ອເລີ່ມຕົ້ນການເອົາໃຈໃສ່ເພີ່ມເຕີມເຂົ້າໄປໃນໂລກຂອງ calculus ຄ່າຂອງປື້ມຕໍາລາພິເສດ, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, ໃນການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດສໍາລັບນັກສຶກສາຂອງພິເສດທີ່ບໍ່ແມ່ນທາງຄະນິດສາດ. ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານສາມາດຍ້າຍອອກໄປໃນວັນນະຄະດີພິເສດຫຼາຍ.

ໄດ້ມີການກ່າວວ່າ, ນອກເຫນືອໄປຈາກຄວາມແຕກຕ່າງ, ມີຍັງສະມະການຫນຶ່ງ, ສະນັ້ນທ່ານສະເຫມີໄປຈະມີບາງສິ່ງບາງຢ່າງຈະພະຍາຍາມແລະສິ່ງທີ່ຕ້ອງສຶກສາ.

ສະຫຼຸບ

ພວກເຮົາຫວັງວ່າວ່າພາຍຫຼັງທີ່ອ່ານບົດຄວາມນີ້, ທ່ານຈະມີຄວາມຄິດຂອງສິ່ງທີ່ມະການແລະວິທີການແກ້ໄຂໃຫ້ເຂົາເຈົ້າຢ່າງຖືກຕ້ອງໄດ້.

ໃນກໍລະນີໃດກໍ່ຕາມ, ຄະນິດສາດໃນວິທີການທີ່ເປັນປະໂຫຍດກັບພວກເຮົາໃນຊີວິດໃດໆ. ມັນພັດທະນາຕາມເຫດຜົນແລະຄວາມສົນໃຈ, ໂດຍບໍ່ມີການທີ່ມະນຸດທຸກຄົນ, ເປັນໂດຍບໍ່ມີໃຜ.