ຄືບຫນ້າຂອງ geometric. ຕົວຢ່າງການຕັດສິນໃຈ

ພິຈາລະນາການຕິດຕໍ່ກັນ.

7 28 112 448 1792 ...

ສະແດງໃຫ້ເຫັນຢ່າງຊັດເຈນດີວ່າມູນຄ່າຂອງການໃດໆຂອງອົງປະກອບຂອງຕົນຫຼາຍກ່ວາທີ່ຜ່ານມາແນ່ນອນສີ່ເທື່ອ. ດັ່ງນັ້ນ, ຊຸດນີ້ແມ່ນມີຄວາມຄືບຫນ້າ.

ຄວາມຄືບຫນ້າເລຂາຄະນິດ ເອີ້ນວ່າລໍາດັບອັນເປັນນິດຂອງຕົວເລກ, ຄຸນນະສົມບັດຕົ້ນຕໍຂອງຊຶ່ງໃນນັ້ນແມ່ນຈໍານວນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ແມ່ນໄດ້ມາຈາກຂ້າງຕົ້ນໂດຍການຄູນດ້ວຍຈໍານວນທີ່ແນ່ນອນຈໍານວນຫນຶ່ງ. ນີ້ແມ່ນສະແດງອອກໂດຍສູດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້.

_{ເປັນ z +1 = a z · q} , ບ່ອນທີ່ z -. ຈໍານວນຂອງອົງປະກອບທີ່ເລືອກ

ຕາມຄວາມເຫມາະສົມ, z ∈ N.

A ທີ່ໃຊ້ເວລາໃນເວລາທີ່ໂຮງຮຽນແມ່ນການສຶກສາ geometric ມີຄວາມຄືບຫນ້າ - ຊັ້ນຮຽນທີ 9. ຕົວຢ່າງຈະຊ່ວຍໃຫ້ເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດນີ້:

025 0125 00625 ...

18 ກຸມພາ 6 ...

ອີງຕາມສູດດັ່ງກ່າວນີ້, ຄວາມຄືບຫນ້າຂອງຕົວຫານອາດໄດ້ຮັບການພົບເຫັນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

ບໍ່ q ຫລື b _z ບໍ່ສາມາດຈະສູນ. ນອກຈາກນີ້, ແຕ່ລະອົງປະກອບຂອງ ຊຸດຂອງຕົວເລກ ມີຄວາມຄືບຫນ້າບໍ່ຄວນຈະສູນ.

ຕາມຄວາມເຫມາະສົມ, ເພື່ອເຂົ້າໄປເບິ່ງຈໍານວນຕໍ່ໄປຂອງຈໍານວນຫນຶ່ງ, ວີຜົນປະໂຫຍດສຸດທ້າຍໂດຍ q.

ເພື່ອກໍານົດຄວາມຄືບຫນ້າດັ່ງກ່າວນີ້, ທ່ານຈະຕ້ອງລະບຸອົງປະກອບທໍາອິດຂອງມັນແລະຕົວຫານ. ຫຼັງຈາກນັ້ນມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະຊອກຫາທຸກຂອງສະມາຊິກດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ແລະປະລິມານຂອງເຂົາເຈົ້າ.

ຊະນິດ

ແມ່ນຂຶ້ນຢູ່ກັບ q ແລະ _1, ຄວາມຄືບຫນ້ານີ້ແມ່ນໄດ້ແບ່ງອອກເປັນປະເພດຄື:

• ຖ້າ _1, ແລະ q ແມ່ນຫຼາຍກ່ວາຫນຶ່ງ, ຫຼັງຈາກນັ້ນລໍາດັບ - ເພີ່ມກັບອົງປະກອບຂອງຜົນສໍາເລັດມີຄວາມຄືບຫນ້າເລຂາຄະນິດໃນແຕ່ລະ. ຕົວຢ່າງຂອງສິ່ງດັ່ງກ່າວມີລາຍລະອຽດຂ້າງລຸ່ມນີ້.

ຕົວຢ່າງ: ₁ = 3, q = 2 - ຫຼາຍກ່ວາຄວາມສາມັກຄີ, ທັງສອງຕົວກໍານົດການ.

ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ລໍາດັບຂອງຈໍານວນສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນວ່າ:

3 6 12 24 48 ...

• ຖ້າ | q | ຫນ້ອຍກ່ວາຫນຶ່ງ, ie, ມັນແມ່ນທຽບເທົ່າກັບການຄູນໂດຍພະແນກ, ຄວາມຄືບຫນ້າທີ່ມີສະພາບຄ້າຍຄືກັນ - ລົດຄືບຫນ້າຂອງ geometric. ຕົວຢ່າງຂອງສິ່ງດັ່ງກ່າວມີລາຍລະອຽດຂ້າງລຸ່ມນີ້.

ຕົວຢ່າງ: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ ແມ່ນຫຼາຍກ່ວາຫນຶ່ງ, q - ຫນ້ອຍ.

ຫຼັງຈາກນັ້ນລໍາດັບຂອງຕົວເລກສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

2 ເດືອນມິຖຸນາ 2/3 ... - ອົງປະກອບອົງປະກອບໃດຫຼາຍດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ມັນເປັນ 3 ເທື່ອ.

• Alternating. ຖ້າ q <0, ອາການຂອງຈໍານວນຂອງສະລັບລໍາດັບຢູ່ສະເຫມີໂດຍບໍ່ຄໍານຶງຂອງ _{1 ໄດ້,} ແລະອົງປະກອບຂອງການເພີ່ມຂຶ້ນຫຼືຫຼຸດລົງໃດຫນຶ່ງ.

ຕົວຢ່າງ: ₁ = -3, q = -2 - ມີທັງຕ່ໍາກວ່າສູນ.

ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ລໍາດັບຂອງຈໍານວນສາມາດໄດ້ຮັບການລາຍລັກອັກສອນວ່າ:

3, 6, -12, 24, ...

ສູດ

ສໍາລັບການນໍາໃຊ້ສະດວກ, ມີຄວາມຄືບຫນ້າເລຂາຄະນິດຈໍານວນຫຼາຍຂອງສູດໄດ້:

• ສູດ z ເທື່ອໃນໄລຍະ. ມັນອະນຸຍາດໃຫ້ການຄິດໄລ່ຂອງອົງປະກອບໃນຈໍານວນສະເພາະໃດຫນຶ່ງໄດ້ໂດຍບໍ່ມີການຄິດໄລ່ຈໍານວນທີ່ຜ່ານມາ.

ຕົວຢ່າງ: q = 3, a = ₁ 4. ຕ້ອງຄິດໄລ່ຄວາມຄືບຫນ້າຂອງອົງປະກອບສີ່.

Solution: a = ₄ 4 3 ^4-1 3 = 4 ³ = 4 27 = 108.

• ການລວມກັນຂອງອົງປະກອບທໍາອິດ, ຈໍານວນທີ່ມີຄ່າເທົ່າກັບ z. ມັນອະນຸຍາດໃຫ້ການຄິດໄລ່ຂອງຈໍານວນເງິນຂອງອົງປະກອບທັງຫມົດໃນລໍາດັບໃດຫນຶ່ງທີ່ຈະເປັນ _z ຮ່ວມ.

≠ 0, ດັ່ງນັ້ນຈຶ່ງ, q ບໍ່ແມ່ນ 1 - (q 1) ເນື່ອງຈາກວ່າ (1-q) ແມ່ນຢູ່ໃນຕົວຫານໄດ້, ຫຼັງຈາກນັ້ນ.

ຫມາຍເຫດ: ຖ້າຫາກວ່າ q = 1, ຫຼັງຈາກນັ້ນມີຄວາມຄືບຫນ້າທີ່ຈະໄດ້ເປັນຕົວແທນຈໍານວນຂອງ endlessly ຊ້ໍາຈໍານວນ.

ຈໍານວນຕົວເລກກໍາລັງຕົວຢ່າງ: a ₁ = 2, q = -2. ຄິດໄລ່ S _5.

Solution: S ₅ = 22 - ສູດການຄິດໄລ່.

• ປະລິມານຖ້າຫາກວ່າ | q | <1 ແລະໃນເວລາທີ່ z ມັກຈະເຮັດໃຫ້ສົມບູນ.

ຕົວຢ່າງ: ₁ = _2, q = 05. ຊອກລວມ.

Solution: S _z = 2 x = 4

ຖ້າຫາກວ່າພວກເຮົາຄິດໄລ່ຜົນລວມຂອງສະມາຊິກຈໍານວນຫນຶ່ງຂອງຄູ່ມືດັ່ງກ່າວ, ທ່ານຈະເຫັນວ່າມັນມີຄວາມມຸ່ງຫມັ້ນຄວາມຈິງແລ້ວສີ່.

S _z = 2 + 1 + 05 + 025 + 0,125 + 00625 = 3.9375 4

ຄຸນສົມບັດບາງ:

• A ຄຸນສົມບັດລັກສະນະ. ຖ້າຫາກວ່າສະພາບດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ ມັນຖືສໍາລັບ z ໃດ, ຫຼັງຈາກນັ້ນໄດ້ຮັບຊຸດຈໍານວນຫລາຍ - ມີຄວາມຄືບຫນ້າເລຂາຄະນິດ:

ເປັນ _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• ນອກນີ້ມັນຍັງຮຽບຮ້ອຍຂອງຈໍານວນໃດຫນຶ່ງແມ່ນຕົວເລກກໍາລັງຄວາມນອກຈາກນັ້ນຂອງມົນທົນຂອງອີກສອງຕົວເລກຢູ່ໃນແຖວໃດກໍຕາມ, ຖ້າຫາກວ່າພວກເຂົາເຈົ້າແມ່ນ equidistant ຈາກອົງປະກອບທີ່.

² _z = a _{z - t} ² ₊ ເປັນ _z + _t ² ບ່ອນ t - ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງຕົວເລກເຫຼົ່ານີ້.

• ອົງປະກອບທີ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງໂດຍຄັ້ງ q.
• ການໂລກາລິດຂອງອົງປະກອບຂອງຄວາມຄືບຫນ້າເຊັ່ນດຽວກັນປະກອບມີຄວາມຄືບຫນ້າ, ແຕ່ການກ່ຽວກັບເລກ, ວ່າແມ່ນ, ພວກເຂົາແຕ່ລະຫຼາຍກ່ວາຫນຶ່ງທີ່ຜ່ານມາໂດຍເປັນຈໍານວນສະເພາະໃດຫນຶ່ງ.

ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາຄລາສສິກບາງ

ການທີ່ດີກວ່າເຂົ້າໃຈສິ່ງທີ່ມີຄວາມຄືບຫນ້າເລຂາຄະນິດ, ກັບຕົວຢ່າງການຕັດສິນໃຈສໍາລັບຊັ້ນຮຽນ 9 ສາມາດຊ່ວຍໄດ້.

• ຂໍ້ກໍານົດແລະເງື່ອນໄຂ: ₁ = 3 ເປັນ ₃ = 48 ຊອກ q.

ການແກ້ໄຂ: ແຕ່ລະອົງປະກອບສໍາເລັດໃນຫຼາຍກ່ວາ q ທີ່ຜ່ານມາ ທີ່ໃຊ້ເວລາ. ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ຈະສະແດງອົງປະກອບບາງສ່ວນຜ່ານອື່ນໆຜ່ານຕົວຫານ.

ຜົນສະທ້ອນ, ໄດ້ ₃ = q ² ເປັນ ₁

ໃນເວລາທີ່ແທນ q = 4

• ເງື່ອນໄຂ: ₂ = 6, a = ₃ 12 ຄິດໄລ່ S _6.

Solution: ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ມັນ suffices ເພື່ອຊອກຫາ q, ອົງປະກອບທໍາອິດແລະທົດແທນເຂົ້າໄປໃນສູດໄດ້.

₃ = q · _2, ຜົນສະທ້ອນ, q = 2

₂ = q · A _1, ສະນັ້ນ a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. ຊອກອົງປະກອບສີ່ມີຄວາມຄືບຫນ້າ.

Solution: ມັນເປັນພຽງພໍທີ່ຈະສະແດງອົງປະກອບສີ່ຜ່ານທໍາອິດແລະໂດຍຜ່ານຕົວຫານ.

₄ ເປັນ ³ = q · a = ₁ -80

ຄໍາຮ້ອງສະຫມັກເຊັ່ນ:

• ລູກຄ້າຂອງທະນາຄານໄດ້ປະກອບສ່ວນລວມຂອງ 10,000 rubles ໄດ້, ພາຍໃຕ້ຊຶ່ງໃນແຕ່ລະປີລູກຄ້າທີ່ຈະຈໍານວນເງິນທີ່ຜູ້ອໍານວຍການຈະໄດ້ຮັບການເພີ່ມ 6% ຂອງມັນວ່າ. ເງິນຫຼາຍປານໃດຢູ່ໃນບັນຊີຫລັງຈາກ 4 ປີແນວໃດ?

ການແກ້ໄຂ: ຈໍານວນຄັ້ງທໍາອິດເທົ່າທຽມກັນກັບ 10 ພັນ rubles. ດັ່ງນັ້ນ, ຫນຶ່ງປີຫລັງຈາກການລົງທຶນໃນບັນຊີດັ່ງກ່າວຈະຈໍານວນເງິນທີ່ເທົ່າທຽມກັນກັບ 10000 + 10000 = 10000 · 006 · 106

ຕາມຄວາມເຫມາະສົມ, ປະລິມານໃນບັນຊີດັ່ງກ່າວເຖິງແມ່ນວ່າຫຼັງຈາກຫນຶ່ງປີຈະໄດ້ຮັບການສະແດງດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

(10000 · 106) 10000 · 006 + 106 = 106 · 106 · 10000

ຫມາຍຄວາມວ່າ, ແຕ່ລະປີຈໍານວນເງິນທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນກັບ 106 ຄັ້ງ. ເພາະສະນັ້ນ, ເພື່ອຊອກຫາຈໍານວນຂອງບັນຊີຄືນຫຼັງຈາກ 4 ປີ, ມັນ suffices ເພື່ອຊອກຫາຄວາມຄືບຫນ້າຂອງສີ່ອົງປະກອບ, ທີ່ຖືກມອບໃຫ້ອົງປະກອບທໍາອິດເທົ່າທຽມກັນກັບ 10 ພັນ, ແລະຕົວສ່ວນເທົ່າທຽມກັນກັບ 106.

S = 106 · 106 · 106 · 106 · 10000 = 12625

ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາໃນຄອມພິວເຕີຂອງຈໍານວນເງິນຂອງ:

ໃນບັນຫາຕ່າງໆໃຊ້ຄືບຫນ້າຂອງ geometric. ຕົວຢ່າງຂອງການຊອກຫາລວມອາດໄດ້ຮັບການກໍານົດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

a ₁ = 4, q = 2, ຄິດໄລ່ S _5.

ການແກ້ໄຂ: ຂໍ້ມູນທັງຫມົດທີ່ຈໍາເປັນສໍາລັບການຄິດໄລ່ເປັນທີ່ຮູ້ຈັກ, ພຽງແຕ່ປ່ຽນແທນໃຫ້ເຂົາເຈົ້າເຂົ້າໄປໃນສູດໄດ້.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18 ການຄິດໄລ່ລວມຍອດຂອງອົງປະກອບທໍາອິດຫົກໄດ້.

ການແກ້ໄຂ:

The Geom. ຄວາມຄືບຫນ້າຂອງອົງປະກອບຂອງຂະຫນາດໃຫຍ່ຕໍ່ໄປກ່ວາເວລາ q ທີ່ຜ່ານມາແຕ່ລະຄົນ, ທີ່, ທີ່ຈະຄິດໄລ່ຈໍານວນເງິນທີ່ທ່ານຕ້ອງການທີ່ຈະຮູ້ວ່າອົງປະກອບທີ່ ₁ ແລະ q ຕົວຫານ.

₂ · q = ₃

q = 3

ເຊັ່ນດຽວກັນ, ຄວາມຕ້ອງການເພື່ອໃຫ້ໄດ້ _{1, 2} ແລະຮູ້ q.

ເປັນ ₁ · q = ₂

a ₁ = 2

ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນມັນ suffices ເພື່ອປ່ຽນແທນຂໍ້ມູນທີ່ຮູ້ຈັກເປັນຈໍານວນເງິນຢ່າງເຫລົ່ານີ້.

S ₆ = 728.